矩阵分析引论

Introduction to matrix analysis

1.线性空间与线性变换

对加减乘除封闭的集合被称之为数域。矩阵论中较常用的数域是QRC。其中Q:有理数域、R:实数数域、C复数数域。
$Q\subset R\subset C$
如果一个非空集合在某数域上，以下八条

线性空间例3.（函数空间$f(I,R)$)

$V:$
$F(I，R^n)$
$I=(0,1) ,[\frac{1}{2}，5]$函数的定义域
$R^n值域空间$
以函数为元素的抽象集合，数域取R

： f+g
$ + ： \begin{cases} f_1(x)\ f_2(x)\ f_n(x) \end{cases} + \begin{cases} g_1(x)\ g_2(x)\ g_n(x) \end{cases} = \begin{cases} f_1(x)+g_1(x)\f_2(x)+ g_2(x)\f_n(x)+g_n(x) \end{cases} x \in I$

：fk
$ : \begin{cases} f_1(x)\ f_2(x)\ f_n(x) \end{cases} * k =\begin{cases} kf_1(x)\ kf_2(x)\ kf_n(x) \end{cases}$

定义：（向量组及向量组拼成向量抽象矩阵）
设V是F上的线性空间V中的有限序列$\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p $的一个向量组，向量组按顺序排列的行称为向量组拼成的抽象矩阵$[\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p ]$
序列：抽象或实际数构成的序列，抽象矩阵。用V中的抽象物拼接为一个矩阵。即：抽象的集合。

数乘运算、线性空间满足八条运算规则:

4条：
加法有交换律、结合律、有负元、有零元。
4条：
乘法有两个分配律，数乘法对抽象加法的分配律，数乘法对数值的分配律，先乘后乘以集合和两次分别乘以集合相等，f中的乘法单位元e做数乘法时空间不变。

标准线性空间：
例子
二维空间
三维空间：所有有向线段构成的集合。
几何空间：
函数空间：函数作为运算对象，所构成的空间。信号的集合构成函数空间。

将几何空间的解析几何方法抽象到一般的框架下，集合的量变成代数的量，坐标系。
考虑什么样的向量组可以模拟成几何的线性空间的问题。
向量组：$\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p $
抽象矩阵：$[\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p ]$
1行p列的抽象矩阵，可以竖着拼。
行向量，横拼接。
列向量，竖拼接。
向量组的线性相关性：如果存在不全为零的P个数$k_i\in F, i=1,2,…,p$使得
$\alpha_1k_1+\alpha2k_2+\alpha3k_3 …\alpha_pk_p=0$
则向量组\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p称之为线性相关。
注： $\exists\begin{cases} k_1\ k_2\ k_n \end{cases} \neq 0，\begin{cases} k_1\ k_2\ k_n \end{cases}\in F^p$

使得(*)成立，对以上命题进行否定。
$\exists a\in P_a $
否定$\forall a\notin P_a $

$\forall \begin{cases} k_1\ k_2\ k_n \end{cases} \neq 0$
$\alpha_1k_1+\alpha2k_2+\alpha3k_3 …\alpha_pk_p\neq 0$
线性无关

线性无关即为线性相关的否定，存在系数不全为零的时，使得等号成立，即线性无关。

$[\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p ][x_1,x_2,x_3,…,x_p]^T=0$
线性相关《——》有非零解
线性无关《——》没有非零解

线性相关性：目的为了将抽象的序列搬移到几何空间中。

基

定义：（两个线性向量组之间的线性表示）
$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p;\beta_1、\beta_2、\beta_3、…、\beta_p$

称为$\beta$可以由$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p$线性表示，如果存在$ k_1、k_2、k_3 …k_p \subset F$使得
$\beta=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\alpha_3k_3 …+\alpha_pk_p$
称$\beta_1、\beta_2、\beta_3、…、\beta_p$可以由$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p$线性表示，如果每个$\beta_i$据可由$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p$线性表示

矩阵表达

$[\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p ][x_1,x_2,x_3,…,x_p]^T=\beta$ 其中$A=[\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p ]$

因此$\beta$可由$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p$线性表示《=====》非齐次线性方程组有解
重点：

$[\alpha1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p] \begin{pmatrix}
x{11} & \cdots & \cdots & \cdots & x{1q} \
x{21} & \cdots &\cdots & \cdots & x{2q} \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
x{p1} & \cdots & \cdots & \cdots & x{pq}\
\end{pmatrix}{pq} =[\beta_1、\beta_2、\beta_3、…、\beta_p]$

$[\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3 …\alpha_p ]$记作A
$[\beta_1、\beta_2、\beta_3…\beta_p]$记作B：
$AX=B$抽象的矩阵方程

$[\beta_i]$可有$[\alpha_i]$线性表示《=====》线性方程有解。

线性表示具有传递性：
$[\alpha_1、\alpha2、\alpha3 …\alpha_p ] 、[{\alpha_i}]$
$[\beta_1、\beta_2、\beta_3…\beta_q] 、[{\beta_j}]$
$[\gamma_1、\gamma_2、\gamma_3…\gamma_t] 、[{\gamma_k}]$

$ [{\beta_j}]\leq lin [{\alpha_i}]
$且$ [{\gamma_k}]\leq lin [{\beta_j}]
$则$ [{\gamma_k}]\leq lin [{\alpha_i}]
$

A$\leq lin$B 意思是A可以由B线性表示。